聚焦 >《高中数学必修第二册 第十章 概率》学后感——六年级自学笔记



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概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。





一、有限样本空间与随机事件


概率论的研究对象是随机现象,随机现象就一次观测而言,出现哪种结果具有偶然性,但在大量重复观测下,各结果出现的频率具有稳定性。


我们把对随机事件的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示。我们感兴趣的是具有可重复性(试验可以在相同的条件重复进行)、可预知性(试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个)、随机性(每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但不能提前知道出现哪一个结果)这些特点的随机试验。


研究某种随机现象的规律,首先要研究它的所有可能结果,利用随机试验可以得到这些结果。


在一个随机试验E中,所有可能结果组合成的集合叫样本空间,通常用Ω表示,样本空间中的元素(可能结果)叫样本点,记作ω。本章中,我们研究具有有限个样本点的样本空间,这时,将样本空间称作有限样本空间。


有了样本点和样本空间的概念,就可以用数学方法描述和研究随机现象了。


在一个随机试验中,可以定义许多不同的随机事件。一般地,随机试验中的每一个随机事件都是样本空间的子集。为了方便,我们把样本空间的子集称为随机事件,简称事件,用大写字母A,B,C表示;只包含一个样本点的随机事件叫基本事件。


在每次试验中,当且仅当事件A中的某个样本点出现称为事件A发生。


因为所有样本点都属于样本空间Ω,所以任意样本点出现都会导致Ω发生,即Ω总会发生。这样,我们称样本空间Ω是必然事件,它一定会发生。与之相对,ØΩ的子集且不包含任何样本点,也就是说,Ø永远不会发生,我们称Ø为不可能事件。


为了方便,我们将必然事件和不可能事件统一成随机事件的两种极端情况。


这样,就明确了随机现象中的大部分基本概念了。




二、事件的关系和运算


随机事件可以用集合表示。集合间有特殊关系,且可以进行运算。这样,自然想到,事件间也有一些特殊关系,且可以进行运算。


(一)包含


类比集合间的包含关系,可得事件间的包含关系。


一般地,若事件A发生导致事件B发生,则称B包含A(或A包含于B),记作BA(或AB)


可用图0-1表示事件间的这种关系。


0-1


特别地,若对于事件A和B,既有AB又有BA,则称事件A与B相等,记作A=B


(二)和事件


由集合的并集,想到事件间可能也能进行类似于加法的运算。


一般地,事件A和B至少有一个发生,这样的事件中的样本点,要么在A中,要么在B中(也可以既在A中又在B中),则这样的一个事件称为事件A与B的和事件,也叫并事件,记作A+B或AB


可以用图0-2表示事件间的这种关系。


0-2


(三)积事件


我们在事件间定义了加法运算,下面定义一种“乘法运算”。


一般地,事件A与B同时发生,这样的一个事件中的样本点,既在A中又在B中,则称这样的一个事件为事件A和B的积事件,也叫交事件,记作AB或AB


可以用图0-3表示事件间的这种关系。


0-3


(四)互斥


有些事件的积事件可能发生,那就必会有些事件,其积事件不可能发生。


一般地,如果事件A,B不能同时发生,即AB=Ø,那么称事件A,B互斥,或互不相容。


可用图0-4表示事件间的这种关系。


0-4


(五)互为对立


互斥事件有一种特殊情况。


一般地,对于任意一次随机试验,若事件A与B中至少有一个发生,且仅有一个发生,即A+B=Ω,且AB=Ø,那么称事件A与B互为对立,事件A的对立事件


可用图0-5表示事件间的这种关系。


0-5


类比集合,样本空间Ω相当于全集U,随机事件A相当于集合A,事件A的对立事件相当于集合A的补集CuA


事件间的关系还有一种是相互独立,这会在后面详细说明。





三、古典概型


研究随机事件,最重要的是研究其发生的可能性大小。刻画随机事件A发生的可能性大小的数值,叫作事件A的概率,记作P(A)。


古典概型是一种理想化的概率模型,全名古典概率模型。它具有以下特点:


(1)有限性:样本空间的样本点有有限个;

(2)等可能性:各样本点发生的可能性相等。


符合古典概型的随机试验,可用下面的方法计算其中的随机事件的概率:一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω中包含n个样本点,随机事件A中有k个样本点,则P(A)=n(A)/n(Ω)=k/n,其中n(A)和n(Ω)分别表示A与Ω内样本点的个数。


利用古典概型求概率,一般经过这些步骤:


(1)明确试验的条件及要观察的结果,用适当的符号表示试验的可能结果;


(2)根据已知条件判断各样本点的等可能性;


(3)计算样本空间Ω与随机事件A中的样本点数,计算P(A)=n(A)/n(Ω)


古典概型是一种基本的求概率的方法,很重要!




四、概率的基本性质


一般地,研究了一个数学对象的定义,就要研究它的性质。


通过概率的定义,可以得到如下6条基本性质:


(1)对任意事件A,都有0≤P(A)≤1。

(2)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,即P(Ω)=1P(Ø)=0

(3)如果事件A与事件B互斥,那么

P(AB)=P(A)+P(B)

(推广:如果A1,A2,An两两互斥,

那么P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)++P(An))。

(4)如果事件A与事件B互为对立,那么P(A)=1-P(B),P(B)=1-P(A)。

(5)如果AB,那么P(A)≤P(B)

(6)A,B是一个随机试验中的两个随机事件,我们有P(AB)=P(A)+P(B)-P (AB) 


其中,性质(3)是性质(6)的特殊情况,性质(1)描述了概率的非负性,性质(5)称为概率的单调性。


这些性质的证明都很简单,总结起来就是:回到定义里去。




五、事件的相互独立性


有时,事件A(或B)发生与否不会影响事件B(或A)发生与否,那么称事件A与B相互独立。


比如,小明考砸了小红考好了”这两个事件的发生与否互不影响,说明它们是相互独立。


上面是从直觉推断的角度,对事件间的相对独立性作出的直观定义。在数学中,我们还应给出其数学定义,对其作出推理判断。


经过对相互独立的事件的概率的研究,可以得到事件间相互独立性的一般定义(数学定义):一般地,对于随机事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),那么事件A与B相互独立,简称独立。


利用事件间相互独立性的充要条件,可以判定事件A与B相互独立,也可以简化对积事件的计算(注意不是所有积事件都能用“P(AB)=P(A)P(B)”计算)。


事件A与它的对立事件不是一个整体,研究了事件A,就要研究事件


如果已知事件A与B相互独立,那么事件BA与是否分别相互独立?


答案是肯定的。以B为例,B=ABB,则P(B)=P(ABB),又因为AB与B互斥(可由Venn图得到),所以P(B)=P(AB)+P(B),又因为A,B相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B),所以P(B)=P(A)P(B)+P(B)P(B)=(1-P(A))P(B)P(B)=P()P(B),所以B相互独立。同理,可证得A与分别相互独立。


这样就得到了事件间相互独立性的性质:若事件A与B相互独立,则事件BA与分别相互独立。


对于必然事件Ω与不可能事件Ø,可得,它们与任意事件相互独立。




六、频率与概率


现实中,许多试验的各样本点不等可能,还有许多试验的各样本点是否等可能不易知晓。这时,就不能用完美的古典概型来计算概率。


在初中,我们研究过频率的稳定性,即频率具有如下性质:在任何确定次数的试验中,一个随机事件A发生的频率具有随机性;一般地,随着试验次数n的增大,随机事件A发生的频率fn(A)偏离其概率P(A)的幅度会缩小,即fn(A)会逐渐稳定于P(A)


这样,我们可以用频率估计概率。


但是,利用频率估计概率,意味着要进行大量的、重复的试验,而在很多时候,受各种条件的限制,我们无法进行实际的试验。这时,就要用到随机模拟的办法,这类似于统计中的随机数法,我们称其为蒙特卡洛方法。


以上是本章主要内容。


在概率论中,样本空间和样本点非常重要,因为它们确定了概率论的研究对象,是进一步研究随机现象的基础。




end

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